Формулы сокращенного умножения.
Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.
Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.
Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .
Пусть а, b R. Тогда:
1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.
Пример 1.
Вычислить
а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем
(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Пример 2.
Вычислить
Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим
Пример 3.
Упростить выражение
(х - у) 2 + (х + у) 2
Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений
(х - у) 2 + (х + у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2
Формулы сокращенного умножения в одной таблице:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Формулы сокращенного умножения. Тренировка.
Попробуй таким способом вычислить следующие выражения:
Ответы:
Либо, если ты знаешь квадраты основных двухзначных чисел, вспомни, сколько будет? Вспомнил? . Отлично! Так как мы возводим в квадрат, то мы должны умножить на. Получается, что.
Помни, что формулы квадрат суммы и квадрат разности справедливы не только для числовых выражений:
Посчитай самостоятельно следующие выражения:
Ответы:
Формулы сокращенного умножения. Итог.
Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:
Теперь потренируемся «собирать» формулу из разложенного вида в вид. Данный навык понадобится нам в дальнейшем при преобразовании больших выражений.
Допустим, у нас есть следующее выражение:
Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) - это квадрат одного числа квадрат другого числа и удвоенное произведение этих чисел .
В данной задаче легко увидеть квадрат одного числа - это. Соответственно, одно из чисел, входящих в скобку, - это квадратный корень из, то есть
Так как во втором слагаемом есть, значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:
Где - второе число, входящее в нашу скобку.
Второе число, входящее в скобку, равно.
Проверим. должно быть равно. Действительно так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках: и. Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?
Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:
Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между и).
Совершенно необязательно, чтобы слагаемые в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле. Посмотри на это выражение: . Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?
Потренируйся - преобразуй следующие выражения:
Ответы: Справился? Закрепим тему. Выбери из приведенных ниже выражений те, которые можно представить в виде квадрата суммы или разности.
- - докажи, что это равносильно.
- - нельзя представить как квадрат; можно было бы представить, если вместо было.
Разность квадратов
Еще одна формула сокращенного умножения - разность квадратов.
Разность квадратов это не квадрат разности!
Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:
Проверим, верна ли эта формула. Для этого перемножим, как делали при выведении формул квадрата суммы и разности:
Таким образом, мы только что удостоверились, что формула действительно верная. Данная формула также упрощает сложные вычислительные действия. Приведем пример:
Необходимо вычислить: . Конечно, мы можем возвести в квадрат, затем возвести в квадрат и вычесть одно из другого, но формула упрощает нам задачу:
Получилось? Сверим результаты:
Так же как и квадрат суммы (разности), формула разности квадратов может применяться не только с числами:
Умение раскладывать разность квадратов поможет нам преобразовывать сложные математические выражения.
Обрати внимание:
Поскольку, при разложении на квадрат разности правого выражения мы получим
Будь внимателен и смотри, какое конкретное слагаемое возводится в квадрат! Для закрепления темы преобразуй следующие выражения:
Записал? Сравним полученные выражения:
Теперь, когда ты усвоил квадрат суммы и квадрат разности, а также разность квадратов, попробуем решать примеры на комбинацию этих трех формул.
Преобразование элементарных выражений (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов)
Допустим, нам дан пример
Необходимо упростить данное выражение. Посмотри внимательно, что ты видишь в числителе? Правильно, числитель - это полный квадрат:
Упрощая выражение, помни, что подсказка, в какую сторону двигаться в упрощении, находится в знаменателе (или в числителе). В нашем случае, когда знаменатель разложен, и больше ничего сделать нельзя, можно понять, что числителем будет либо квадрат суммы, либо квадрат разности. Так как мы прибавляем, то становится ясно, что числитель - квадрат суммы.
Попробуй самостоятельно преобразовать следующие выражения:
Получилось? Сравниваем ответы и двигаемся дальше!
Куб суммы и куб разности
Формулы куб суммы и куб разности выводятся аналогичным образом, как квадрат суммы и квадрат разности : раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.
Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»
Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:
Какую ты видишь закономерность?
1. При возведении в квадрат у нас есть квадрат первого числа и квадрат второго; при возведении в куб - есть куб одного числа и куб другого числа.
2. При возведении в квадрат , у нас есть удвоенное произведение чисел (числа в 1 степени, что на одну степень меньше чем та, в которую возводим выражение); при возведении в куб - утроенное произведение, при котором одно из чисел возводится в квадрат (что так же на 1 степень меньше, чем степень, в которую возводим выражение).
3. При возведении в квадрат знак в скобках в раскрытом выражении отражается при прибавлении (или вычитании) удвоенного произведения - если в скобках сложение, то прибавляем, если вычитание - отнимаем; при возведении в куб правило такое: если у нас куб суммы, то все знаки «+», а если куб разности, то знаки чередуются: « » - « » - « » - « ».
Всё перечисленное, кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.
Потренируемся? Раскрой скобки в следующих выражениях:
Сравни полученные выражения:
Разность и сумма кубов
Рассмотрим последнюю пару формул разность и сумму кубов.
Как мы помним, в разности квадратов у нас идет перемножение разности и суммы данных чисел одно на другое. В разности кубов и в сумме кубов также имеется две скобки:
1 скобка - разность (или сумма) чисел в первой степени (в зависимости от того, разность или сумму кубов мы раскрываем);
2 скобка - неполный квадрат (присмотрись: если бы мы вычитали (или прибавляли) удвоенное произведение чисел, был бы квадрат), знак при перемножении чисел противоположный знаку изначального выражения.
Для закрепления темы решим несколько примеров:
Сравни полученные выражения:
Тренировка
Ответы:
Подведем итоги:
Существует 7 формул сокращенного умножения:
ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ
Формулы сокращенного умножения - это формулы, зная которые можно избежать выполнения некоторых стандартных действий при упрощении выражений или разложении многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть!
- Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
- Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
- Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:
- Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения:
- Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения:
- Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений:
- Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений:
Теперь докажем все эти формулы.
Формулы сокращенного умножения. Доказательство.
1. .
Возвести выражение в квадрат - значит умножить его само на себя:
.
Раскроем скобки и приведем подобные:
2. .
Делаем то же самое: умножаем разность саму на себя, раскрываем скобки и приводим подобные:
.
3. .
Возьмем выражение в правой части и раскроем скобки:
.
4. .
Число в кубе можно представить как это число умноженное на свой квадрат:
Аналогично:
В разности кубов знаки чередуются.
6. .
.
7. .
Раскроем скобки в правой части:
.
Применение формул сокращенного умножения при решении примеров
Пример 1:
Найдите значение выражений:
Решение:
- Используем формулу квадрат суммы: .
- Представим это число в виде разности и используем формулу квадрата разности: .
Пример 2:
Найдите значение выражения: .
Решение:
Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим:
Пример 3:
Упростите выражение:
Решение двумя способами:
Воспользуемся формулами квадрат суммы и квадрат разности:
II способ.
Воспользуемся формулой разности квадратов двух выражений:
ТЕПЕРЬ ТВОЕ СЛОВО...
Я рассказал все, что знаю о формулах сокращенного умножения.
Расскажи теперь ты будешь ли ты ими пользоваться? Если нет, то почему?
Как тебе эта статья?
Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.
Напиши в комментариях. Мы читаем все комментарии и отвечаем на все.
И удачи на экзаменах!
Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.
В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.
Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса "Алгебра" за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.
Формулы сокращенного умножения
- формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- формула квадрата разности: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
- формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- формула куба разности: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- формула разности квадратов: a 2 - b 2 = a - b a + b
- формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
- формула разности кубов: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2
Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.
Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.
Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.
Шестая и седьмая формулы - соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.
Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.
При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.
Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.
a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n
Здесь C n k - биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:
C n k = n ! k ! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы - это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.
Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.
a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Еще одна формула, которая может пригодится - формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
Эту формулу обычно разделяют на две формулы - соответственно для четных и нечетных степеней.
Для четных показателей 2m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2
Для нечетных показателей 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m
Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на - b .
Как читать формулы сокращенного умножения?
Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.
Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 запишем:
квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.
Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.
Переходим к чтению формулы для разности кубов a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.
Пятая формула a 2 - b 2 = a - b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.
Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 - a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.
С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
Доказательство ФСУ
Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.
Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.
a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .
Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.
a - b 2 = a - b a - b .
Раскроем скобки:
a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .
Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.
Примеры применения ФСУ
Цель использования формул сокращенного умножения - быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.
Пример 1. ФСУ
Упростим выражение 9 y - (1 + 3 y) 2 .
Применим формулу суммы квадратов и получим:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
Пример 2. ФСУ
Сократим дробь 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Замечаем, что выражение в числителе - разность кубов, а в знаменателе - разность квадратов.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .
Сокращаем и получаем:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное - уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.
Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.
Еще один важный момент - выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x - 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Выражение (a + b ) 2 - это квадрат суммы чисел a и b . По определению степени выражение (a + b a + b )(a + b ). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что
(a + b ) 2 = (a + b )(a + b ) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,
т. е. квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
формула квадрата суммы
(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Многочлен a 2 + 2ab + b 2 называется разложением квадрата суммы.
Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.
Пример. Возвести в квадрат выражение 3x 2 + 2xy .
Решение: чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:
(3x 2 + 2xy ) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 · 2xy ) + (2xy ) 2
Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов , упростим получившееся выражение:
(3x 2) 2 + 2(3x 2 · 2xy ) + (2xy ) 2 = 9x 4 + 12x 3 y + 4x 2 y 2
Квадрат разности
Выражение (a - b ) 2 - это квадрат разности чисел a и b . Выражение (a - b ) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a - b )(a - b ). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что
(a - b ) 2 = (a - b )(a - b ) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 ,
т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Из правила следует, что общая формула квадрата разности , без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:
(a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Многочлен a 2 - 2ab + b 2 называется разложением квадрата разности.
Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.
Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:
(2a 2 - 5ab 2) 2
Решение: используя формулу квадрата разности, находим:
(2a 2 - 5ab 2) 2 = (2a 2) 2 - 2(2a 2 · 5ab 2) + (5ab 2) 2
Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида :
(2a 2) 2 - 2(2a 2 · 5ab 2) + (5ab 2) 2 = 4a 4 - 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4
Разность квадратов
Выражение a 2 - b 2 - это разность квадратов чисел a и b . Выражение a 2 - b 2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:
(a + b )(a - b ) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2 ,
т. е. произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.
Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:
a 2 - b 2 = (a + b )(a - b )
Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно - как сумма двух чисел, а другое - как разность тех же чисел.
Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:
(5a 2 + 3)(5a 2 - 3)
Решение:
(5a 2 + 3)(5a 2 - 3) = (5a 2) 2 - 3 2 = 25a 4 - 9
В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть, нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:
(a + b )(a - b ) = a 2 - b 2
На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо, и справа налево, в зависимости от ситуации.
На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.
Рассмотрим формулу квадрата суммы:
Итак, мы вывели формулу квадрата суммы:
Словесно эта формула выражается так: квадрат суммы равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
Данную формулу легко представить геометрически.
Рассмотрим квадрат со стороной :
Площадь квадрата.
С другой стороны, этот же квадрат можно представить иначе, разбив сторону на а и b (рис. 1).
Рис. 1. Квадрат
Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:
Поскольку квадраты были одинаковы, то их площади равны, значит:
Итак, мы доказали геометрически формулу квадрата суммы.
Рассмотрим примеры:
Комментарий: пример решен с применением формулы квадрата суммы.
Выведем формулу квадрата разности:
Итак, мы вывели формулу квадрата разности:
Словесно эта формула выражается так: квадрат разности равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
Рассмотрим примеры:
Формулы квадрата суммы и квадрата разности могут работать как слева направо, так и справа налево. При использовании слева направо это будут формулы сокращенного умножения, они применяются при вычислении и преобразовании примеров. А при использовании справа налево - формулы разложения на множители.
Рассмотрим примеры, в которых нужно разложить заданный многочлен на множители, применяя формулы квадрата суммы и квадрата разности. Для этого нужно очень внимательно посмотреть на многочлен и определить, как именно его правильно разложить.
Комментарий: для того, чтобы разложить многочлен на множители, нужно определить, что представлено в данном выражении. Итак, мы видим квадрат и квадрат единицы. Теперь нужно найти удвоенное произведение - это . Итак, все необходимые элементы есть, нужно только определить, это квадрат суммы или разности. Перед удвоенным произведением стоит знак плюс, значит, перед нами квадрат суммы.